数学に詳しい奴来てくれ

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1以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:38:03.792ID:Y58wTJ9q0
四次元ユークリッド空間は微分構造の違うものがあるって聞くけど、具体的にどう違うの?

2以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:38:24.337ID:mBuvfCuS0
なんて?

3以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:38:25.729ID:T3W1lckh0
1−9=?

4以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:40:27.234ID:34dndX/Xa
次元が違う

5以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:41:31.228ID:Y58wTJ9q0
>>3
-8

>>4
いや、次元自体はどっちも4のはず

6以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:42:40.451ID:BghC/osv0
積分構造も違う
具体的にはドーナツでありコーヒーカップである

7以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:42:50.643ID:8dL9wFib0
答えは3

8以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:44:18.662ID:Y58wTJ9q0
>>6
つまりどういうことだってばよ?

9以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:45:25.315ID:lZhticyI0
リーマン積分とかルベーグ積分とか一口に微積分といってもたくさんある
多様体の不変量である曲率とか距離は微積分で決まるから、最初にどの微積分を使うかを定義しなきちゃいけなくて、あなたが行ってる微分構造は多分そのこと

10以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:48:07.000ID:Y58wTJ9q0
>>9
なんか四次元以外は1つしか種類ないらしいんだよ
『同相であるが微分同相ではない 四次元位相多様体』というのがあるらしい

11以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:50:40.176ID:L2mo7tyf0
ユークリッド空間じゃなくて多様体だからじゃないの?

そんなに詳しくないけど3次元以下でも同じこと成り立つんじゃない?同相だけど可微分同相じゃない3次元多様体とか

12以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:54:00.184ID:lZhticyI0
>>10
なるほど理解した!微分同相写像の話ですね!
可微分写像が全単射かつ逆写像も微分可能なら微分同相ってのがまず1つ
それとは別に位相同相って概念があって、これはドーナツとコーヒーカップが同じものですよって例がよく使われるように、多様体の分類方法
で、1、2、3次元では同相ならば微分同相なんだけども、4次元以上の場合同相でも微分同相じゃないものがある
4次元以外にも7次元とかでもそういう例は見つかってるお

13以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:57:09.226ID:yPQ+8vXZd
>>12
微積分に詳しい人ってどんな考え方してるの?大学一年レベルで分からんのだけど

14以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 22:58:21.989ID:Y58wTJ9q0
>>12
たぶんそれです!
位相同相のほうはわかる、連続的に変形することで同じ形、ってやつでしょ?
Wikipediaには「n≠4ならばn次元ユークリッド空間に同相なら微分同相」ってあるけど、実際には他にもあったのか

15以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 23:03:23.822ID:lZhticyI0
>>13
ゲーム感覚で、もうそういうルールと割り切って抽象的な操作に慣れるのが1つ
あとは難しいけど、簡単な例や具体例に落とし込んで納得すること
この2つができれば数学マスターになれると思う(私はできません)

>>14
そうそう!
感覚的には、3次元以下だと適当に位相同相な多様体の組みもってくれば微積分もちゃんと定義できるけど、4次元以上だとそうはいかないって感じかと

16以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 23:05:28.861ID:Y58wTJ9q0
>>15
具体的に「こんなケースで位相同相だけど微分同相ではない」っていう例を挙げるのは簡単にはいかない感じ?
さっぱりどういう時にそんなことが起こるのか想像がつかないんだ

17以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 23:05:52.785ID:Y58wTJ9q0
てーかよく答えられる奴いたな、流石はVIPだ

18以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 23:11:25.770ID:B7hCPOHC0
そりゃニートか年収1000万超えの大卒エリートしかいないもの
俺はニート

19以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 23:12:02.575ID:lZhticyI0
>>16
具体例に落とし込むのが大事とか行ったそばから申し訳ないが難しい
4次元だと同相だが微分同相でない多様体の組が無限個あることがわかっている
んだけどもそれらが直感的にどういうものかは説明できぬ

20以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2020/02/25(火) 23:17:16.537ID:Y58wTJ9q0
>>19
何故無限個になるのかはたぶん生半可な知識じゃ無理だと思うから「2つだけ」でもいいんだが、それでも例示は無理か
やはりサイモン・ドナルドソンの元論文を理解できるようになるのが一番手っ取り早いか

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